1 什么是对数

如果 $a^x = N(a>0, a \neq 1, N>0)$ 则 $x$ 叫做以 $a$ 为底 $N$ 的对数，记做 $x=\log_aN$ , 其中 $N$ 被称为真数。

若对数的底数为 $10$ 则记作 $\lg N$，若对数的底数为自然底数 $e$，则记作 $\ln N$ 。

2 对数的运算法则

2.1 对数的基本运算

1. $log_a M + log_aN = log_aMN$
2. $log_aM - log_aN = log_a\frac{M}{N}$
3. $\log_ab^x=x\log_ab$

2.2 换底公式

基本公式：$\frac{\log_cb}{\log_ca} = \log_ab ,c>0, c\neq1,a\neq1$

证明：已知 $\log_ab = x \Leftrightarrow a^x = b$ 则 $\log_c a^x = \log_c b$

由对数的基本运算 $3$ 可知：$x\log_ca = log_cb$

故 $x = \frac{\log_cb}{\log_ca} = \log_ab$

扩展1：$\frac{1}{\log_ba} = \log_ab,b\neq 1$

证明：已知 $\frac{\log_cb}{\log_ca} = \log_ab$

当 $c=b$ 时, $\frac{1}{\log_ba} = \log_ab$

扩展2：$\log_{a^x}b^y = \frac{y}{x}\cdot\log_ab$

证明：$\log_{a^x}b^y=y\log_{a^x}b = y \cdot \frac{1}{\log_ba^x} = y \cdot \frac{1}{x\log_b^a} = \frac{y}{x}\cdot\log_ab$

$\mathrm{{\Large Example1} } $

问题描述

求 $\log_48$ 的值。

分析与解答

• 方法一：利用换底公式可知 $\log_48 = \frac{\log_28}{\log_24} = \frac{3}{2}$
• 方法二：利用换底公式扩展二可直接求出答案 $\frac{3}{2}$

$\mathrm{{\Large Example2} } $

题目描述

证明： $\log_ab \cdot\log_bc\cdot \log_ca = 1$
分析与解答

此题最大的难点为每个对数的底数不同，为了使他们的底数相同可使用基本换底公式。

原式可化为 $\log_ab \cdot \frac{\log_ac}{\log_ab} \cdot a\frac{\log_aa}{\log_ac} = \log_aa = 1$

3.2 对数函数的图像

对于函数 $y=\log_ax$ ,$a^y = x$：

• 当 $a > 1 $ 时，$y$ 随着 $x$ 的增大而增大；当 $y=0$ 时， $x = 1$。
• 当 $a < 1$ 时，$y$ 随着 $x$ 的增大而减小；当 $y=0$ 时， $x = 1$。

若两个对数函数的底数互为倒数，则两个函数关于 $x$ 轴，对称。

函数的底数越大，函数的增长速度越慢。

$\mathrm{{\Large Example1} } $

问题描述

已知 $a=2^{1.1},b=\log_23,c=3^{\log_3\frac{3}{2}}$ ,求 $a,b,c$ 的大小关系。

分析与解答

此题的关键在于估算。

$a = 2^{1.1} \approx 2^1 \approx 2$

$b = \log_23 \Leftrightarrow 2^b = 3 \Rightarrow b < 2 < a$

$c =3^{ \log_3\frac{3}{2} } = \frac{3}{2} = \log_22^\frac{3}{2} = \log_2\sqrt{8} < \log_23$

故 $a>b>c$.