函数的图像变换问题

基础部分：

• $y=f(x)$ 左移 $n$ 个单位得到：$y=f(x+n)$
• $y=f(x)$ 上移 $n$ 个单位得到：$y=f(x)+n$
• $y=f(x)$ 翻折可得 $y=|f(x)|$

令一个函数的定义域为 $D,\forall x\in D,-x \in D$ 且 $f(x)$ 为偶函数时：

• $f(x)=f(-x)=f(|x|)$
• 函数中只能由偶次项存在例如：$y=x^2$是偶函数；而 $y=(x^2+x)$ 因为次数项为 $1$ 的系数不为 $0$ 故不是偶函数

当 $f(x)$ 为奇函数时：

• $-f(x)=f(-x)$
• 函数中只能有奇次项存在

知道了以上的基础部分之后，我们就可以做进一步的探究：

若 $f(x)$ 关于 $x=t$ 对称，则有：

• $f(t-x)=f(t+x)$
• $f(2t-x)=f(x)$
• $f(-x)= f(x+2t)$

同样的，若我们知道了以上信息中的任意一条，我们便可以很快捷的求出函数的对称轴。

若 $f(x)$ 关于点 $(a,b)$ 中心对称：

• $f(a-x)=-f(a+x)$
• $f(2a-x)=-f(x)$
• $f(-x)= -f(x+2a)$
• $f(a+t)+f(a-t)=b$

对勾函数

令 $f(x)=x+\frac{1}{x},x\in (-\infty, 0) \cup (0,\infty)$ ， $f(x)$ 是一个奇函数，如下图所示：