函数的图像变换问题
基础部分：
- $y=f(x)$ 左移 $n$ 个单位得到：$y=f(x+n)$
- $y=f(x)$ 上移 $n$ 个单位得到：$y=f(x)+n$
- $y=f(x)$ 翻折可得 $y=|f(x)|$
令一个函数的定义域为 $D,\forall x\in D,-x \in D$ 且 $f(x)$ 为偶函数时：
- $f(x)=f(-x)=f(|x|)$
- 函数中只能由偶次项存在例如：$y=x^2$是偶函数；而 $y=(x^2+x)$ 因为次数项为 $1$ 的系数不为 $0$ 故不是偶函数
当 $f(x)$ 为奇函数时：
- $-f(x)=f(-x)$
- 函数中只能有奇次项存在
知道了以上的基础部分之后，我们就可以做进一步的探究：
若 $f(x)$ 关于 $x=t$ 对称，则有：
- $f(t-x)=f(t+x)$
- $f(2t-x)=f(x)$
- $f(-x)= f(x+2t)$
同样的，若我们知道了以上信息中的任意一条，我们便可以很快捷的求出函数的对称轴。
若 $f(x)$ 关于点 $(a,b)$ 中心对称：
- $f(a-x)=-f(a+x)$
- $f(2a-x)=-f(x)$
- $f(-x)= -f(x+2a)$
- $f(a+t)+f(a-t)=b$
对勾函数
令 $f(x)=x+\frac{1}{x},x\in (-\infty, 0) \cup (0,\infty)$ ， $f(x)$ 是一个奇函数，如下图所示：
值域：$(-\infty,-2]\cup [2,+\infty]$
单调递增区间：$(-\infty, -1), (1, \infty)$
单调递减区间：$(-1, 0), (0, 1)$
令 $f(x)=bx+\frac{a}{x},x\in (-\infty, 0) \cup (0,\infty),a>0$ 由基本不等式可得：$x+\frac{a}{x}\ge 2\sqrt{a}$ ，在 $x = \sqrt{a}$ 的时候可以取到函数在第一象限内的最小值，若 $x = -\sqrt{a}$ 时，可以取到函数在第三象限内的最大值。函数会趋近于 $y=bx$
令 $f(x)=x-\frac{1}{x},x\in (-\infty, 0) \cup (0,\infty)$ ， $f(x)$ 是一个奇函数，如下图所示：
函数的凹凸性
令 $y=\sqrt{x}，0<x_1<x_2$ ，证明：$\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2} <f(\frac{x_1+x_2}{2} )$
代数证明：
$\because \frac{f(x_1)+f(x_2)}{2} = \frac{\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}}{2}, f(\frac{x_1+x_2}{2})=\sqrt{\frac{x_1+x_2}{2}}$
令 $\sqrt{x_1} = a, \sqrt{x_2} = b$
$\therefore x_1=a^2, x_2 = b^2$
$\therefore \frac{a+b}{2}<\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}$
几何证明：
在 $y=\sqrt{x}$ 的函数图像上任取两点 $A, B$
$A(x_1, f(x_1)), B(x_2, f(x_2))$
连接 $AB$ 取线段 $AB$ 的中点标记为 $N$
过 $N$ 作 $x$ 轴的垂线交 $f(x)$ 于点 $M$
$N(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}), M(\frac{x_1+x_2}{2}, f(\frac{x_1+x_2}{2}))$
点 $M$ 在 点 $N$ 的上方，可以证明 $\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2} <f(\frac{x_1+x_2}{2} )$