高斯约旦

这玩意每次学了老是要忘，有可能没有理解透彻，所以写一下。

高斯约旦会将矩阵变为对角矩阵，步骤如下：

• 枚举第 $i$ 行，接着枚举第 $j$ 列，对于第 $j$ 行的 $A_{i, j}$ 变成 $0$，就需要用 $j$ 行减去 $\dfrac{A_{i, j}}{A_{i, i}}$ 倍的第 $i$ 行，

但由于按照顺序的 $A_{i, i}$ 可能为 $0$，所以我们应当先枚举第 $j$ 列，接着枚举 $i$ 行，找到一个非 $A_{i, j} = 0$ 的 $i$，将第 $i$ 行与 $j$ 行交换，然后再进行上面的步骤即可。

总的来说：

• 枚举第 $j$ 列，然后枚举 $i$ 行，找到一个不为 $0$ 的位置 $A_{i, j}$，如果找不到则无解。
• 将第 $j$ 行和第 $i$ 行交换，把第 $i$ 行全部除以 $A_{i, i}$，目的是使得 $A_{i, i} = 1$。
• 最后用枚举第 $k(k \ne i)$ 行，用 $k$ 行减去 $A_{k, j}$ 倍的 $i$ 行，目的是使得 $A_{k, j} = 0$。

矩阵求逆

矩阵求逆相当于是把矩阵和一个单位矩阵拼到一起，然后消元就能够得到逆了。

具体地，设 $A$ 为当前矩阵，$I$ 为单位矩阵，$[AI]$ 为将二者以从左到右的顺序拼接到一起，是一个 $n \times 2n$ 的矩阵，经过消元后得到 $[IA^{-1}]$。

如果左侧不是单位矩阵，说明矩阵不可逆。

行列式

行列式是矩阵的一种运算，对于一个矩阵 $A$，$\det A$ 代表 $A$ 的行列式。

那么如何理解一个行列式究竟是什么呢，我们知道 $A$ 可以表示一个 $N$ 维空间的一个几何体，如果
$A = \displaystyle \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$，那么可以看作一个二维空间中 $1 \times 1$ 的正方形。

对于一个 $N \times N$ 的行列式，其代表的是空间的线性变换。

如对于一个行列式
$\begin{vmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 2 \end{vmatrix}$
相当于是把二维空间中 $1\times 1$ 的正方形变成了 $3 \times 2$ 的长方形。如果行列式为 $\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{vmatrix}$ 则相当于把一个正方形变成了一个平行四边形。

知道了这一点之后相信能够更好的理解行列式。

行列式满足以下性质：

• 矩阵转置行列式不变。（显然交换一个长方形的长宽面积不变）
• 矩阵行（列）交换，行列式取反（相当于将平面反向，参考行列式 $\begin{vmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 2 \end{vmatrix}$）
• 矩阵行（列）相加或相减，行列式不变（参考行列式 $A = \displaystyle \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix}$ 变为　$\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{vmatrix}$ 相当于是一个 $1\times 1$ 的正方形，变成了一个高为 $1$ 底为 $1$ 的平行四边形，面积不变）
• 矩阵行（列）同时乘以 $k$ 行列式等比例变大。（显然，将一个长方形的高扩大 $k$ 倍，面积也扩大 $k$ 倍）

由于行列式的定义为：

$$\det(A) = |A| = \sum_{p} (-1)^{\tau(p)} \prod_{i = 1}^n A_{i,p_{i}}$$

后面的 $\prod$ 在只要有一项为 $0$ 的时候整个就为 $0$，根据刚刚提到的性质，我们可以把 $A$ 化成对角矩阵的形式，这样子当且仅当 $p = \{1, 2, \cdots, n\}$ 的时候有值。