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数学归纳法

什么是数学归纳法?

数学归纳法的思想是 有限到无限 的递推逻辑,证明某个命题对其所有定义范围均成立,其本质是:

  1. 基例:证明命题在初始条件 n=base 下成立。
  2. 归纳假设:假设某个命题在 n=k 的时候成立。
  3. 归纳步骤:证明某个命题在 n=k+1 的时候也成立。

若上述条件均满足则说明命题对 nbase 的在定义域内的自然数且均成立。

在某些特殊情况下,如当前状态可能依赖于多个前置状态,在归纳假设时需要假设 nk 均成立,此方法被称为强归纳法。

例题

用数归证明斐波那契数列通项公式

命题:斐波那契数列满足 F(n)=ϕnψn5,其中 ϕ=1+52(黄金比例),ψ=152

证明:

  1. 基例

    • n=0 时,F(0)=0,代入上式成立。
    • n=1 时,F(1)=1,代入上式成立。
  2. 归纳假设

    由于 F(n) 依赖于多个前驱,故需要使用强归纳法。

    • 归纳假设所有 knF(k)=ϕkψk5 均成立。
  3. 归纳步骤

    • 根据递推公式 F(n+1)=F(n)+F(n1) 可得:
      F(n+1)=ϕnψn5+ϕn1ψn15=ϕn+ϕn1(ψn+ψn1)5.

    • 由于 ϕψ 方程 x2=x+1 的两个解,所以我们可以得到:
      ϕn+1=ϕn+ϕn1, ψn+1=ψn+ψn1.

    • 带入可得:
      F(n+1)=ϕn+1ψn+15.

    证毕

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